唱片、齿轮、鹦鹉螺和数学家有什么共同点?答案是他们都热爱螺线。

    蜘蛛的几何学

    蛛网的建筑

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当我们观察着园蛛,尤其是丝光蛛和条纹蛛的网时,我们会发现它的网并不是杂乱无章的,那些辐排得很均匀,每对相邻的辐所交成的角都是相等的;虽然辐的数目对不同的蜘蛛而言是各不相同的,可这个规律适用于各种蜘蛛。

    即使在最小的花园里,也能看到园蛛的踪迹。它们都算得上是天才的纺织家。

阿基米德螺线和三等分角

数学家对螺线的探索最早可以追溯到古希腊时代,阿基米德就在他的著作《论螺线》中对等速螺线的性质做了详细的讨论,于是后世的数学家们也把等速螺线称为“阿基米德螺线”。(最早发现等角螺线的其实是阿基米德的老师柯农,在他死后阿基米德继承了他的工作。)

什么是阿基米德螺线呢?想象有一根可以绕着一点转动的长杆,有一只小虫沿着杆匀速向外爬去。当长杆匀速转动的时候小虫画出的轨迹就是阿基米德螺线。阿基米德螺线的方程写成极坐标形式就是
ρ = aθ。

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阿基米德螺线生活中随处可见。在早期的留声机中,电机带动转盘上的唱片匀速转动,沿着一条直线轨道匀速向外圈移动的唱头在唱片上留下的刻槽就是阿基米德螺线。同理,由匀速盘香机生产出来的盘状蚊香也是阿基米德螺线的形状。等螺距的螺钉从钉头方向看去也是阿基米德螺线。就连缝纫机中也有阿基米德螺线出没,一般的机械缝纫机中有一个凸轮,手轮旋转的时候用来带动缝纫针头直线运动,这个凸轮的轮廓就是把阿基米德螺线的一部分经过对称得到的。

一个很有趣的事情是,在阿基米德螺线的配合下,尺规就能完成三等分一个任意角θ。步骤如下:

1、将θ角的一边与极轴重合,顶点与原点O重合2、延长角的另一边与阿基米德螺线交于A3、尺规三等分OA得到三等分点B’、C’4、分别以OB’、OC’为半径,O为圆心画圆交螺线于B、C5、根据 ρ=aθ 容易证得OB、OC三等分θ

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当然,只利用尺规是无法画出阿基米德螺线的,所以我们大可不必担心关于尺规三等分任意角不可能的证明就此被推倒。

   
我们已经知道,蜘蛛织网的方式很特别,它把网分成若干等份,同一类蜘蛛所分的份数是相同的。当它安置辐的时候,我们只见它向各个方向乱跳,似乎毫无规则,但是这种无规则的工作的结果是造成一个规则而美丽的网,像教堂中的玫瑰窗一般。即使他用了圆规、尺子之类的工具。没有一个设计家能画出一个比这更规范的网来。

   
如果我们在黄昏的时候散步,我们可以从一丛迷迭香里寻找蛛丝马迹。我们所观察的蜘蛛往往爬行得很慢,所以我们应该索性坐在矮树丛里看。那里的光线比较充足。让我们再来给自己加一个头衔,叫做“蛛网观察家”吧!世界上很少有人从事这种职业,而且我们也不用指望从这行业上嫌点钱。但是,不要计较这些,我们将得到许多有趣的知识。从某种意义上讲,这比从事任何一个职业要有意思得多。

渐开线和机械齿轮

另一种有名的螺线叫做渐开线。当一根绳沿着另一曲线绕上或脱下时,它描出一条渐伸线。许多曲线都有自己的渐开线,把一条没有弹性的细绳绕在一个定圆上,拉开绳子的一端并拉直,使绳子与圆周始终相切,绳子端点的轨迹就是圆的渐开线。

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与阿基米德螺线相比,渐开线在日常生活中出场的机会似乎要少一点,但仔细寻找还是能发现它的踪迹,例如棕榈等一些植物叶尖的轮廓就是渐开线。其实它还在机械设备中发挥着重要的作用,机械设备用于传动的齿轮中,就活跃着渐开线的身影。早在
1694 年,法国学者就讨论了把渐开线作为齿轮齿形的可能性。 1765
年,欧拉对相啮合的一对齿轮齿形曲线的曲率半径和曲率中心位置的关系进行了计算,认为渐开线相当适合作为齿轮的齿形。与其他齿形相比,渐开线齿形具有传动平稳、两轮中心距允许有一定的安装误差等等优点。目前工业中渐开线齿轮被广泛应用,占到世界齿轮市场的
90% 以上。

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渐开线齿轮

   
我们可以看到,在同一个扇形里,所有的弦,也就是那构成螺旋形线圈的横辐,都是互相平行的,并且越靠近中心,这种弦之间的距离就越远。每一根弦和支持它的两根辐交成四个角,一边的两个是钝角,另一边的两个是锐角。而同一扇形中的弦和辐所交成的钝角和锐角正好各自相等——因为这些弦都是平行的。

   
我所观察的都是些小蜘蛛。它们比成年的蜘蛛要小得多。而且它们都是在白天工作,甚至是在太阳底下工作的,尽管它们的母亲只有在黑夜里才开始纺织。当到每年一定的月份的时候,蜘蛛们便在太阳下山前两小时左右开始它们的工作了。

伯努利和大自然都爱等角螺线

下面出场的是螺线家族中名气最大的——等角螺线。它的名字来源于一个著名的数学问题:试找出一条曲线,在任意点处的矢径与切线的夹角为定值。这一问题最终于
1683
年被笛卡尔解决。使用一点简单的微积分和笛卡尔的坐标系,我们很容易就能知道等角曲线的极坐标方程:ρ
= e
。由于在方程中出现了指数函数,这一螺线也被称为对数螺线。

等角螺线还与一道著名的趣味物理题有关:三只小狗分别从一个等边三角形的三点出发,以相同的速度相互追逐,当它们在三角形中心相遇时,所画出的轨迹就是等角螺线。一个很少被注意的有趣现象是,他们将在有限时间内相遇,但是相遇之前已经围着中心绕了无数圈!

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等角螺线

等角螺线具有许多有趣的数学性质,著名数学家雅各布·伯努利就是等角螺线的一个狂热粉丝。他对等角螺线进行了许多研究,发现等角曲线在反演、求渐屈线、求垂足曲线、等比例放大等等变换后仍然是原先的等角曲线。对于这些性质伯努利感到十分惊讶,决定把等角曲线作为自己的墓志铭,还加上了一句话“Eadem
mutata
resurgo.”这句话有各种不同的翻译版本,大意是“纵然改变,仍然故我”(也有一些版本的翻译类似“改变之后,我将原地复活”)。但是滑稽的是为他雕刻墓碑的工匠也许是文化水平不高,也许就是嫌麻烦,最后给墓碑上雕刻的图竟是毫不相关的阿基米德螺线。伯努利若九泉有知,怕是要死不瞑目了。

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等角对数螺线的除了伯努利还有大自然。可能是由于它等角的特性,等角螺线是自然界中最常见的螺线。向日葵的和其他一些植物的种子在花盘上排列出的曲线就是等角曲线,这样每颗种子受到周围其他种子所分泌生长素的抑制作用可以达到最小,同时当它们长大时可以保持形状不变。蕨类植物和其他一些植物的嫩叶也蜷曲成对数曲线的形状。

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向日葵的花盘,能看出等角螺线吗

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对数曲线形状的嫩芽

除了植物界,动物界也有不少等角螺线。鹦鹉螺的螺壳曲线就是等角螺线,这是由于鹦鹉螺在生长时内圈与外圈分泌石灰质的量总为一定值造成的,同理鹰嘴和鲨鱼的背鳍也是对数螺线的形状。法国博物学家,《昆虫记》作者
让-亨利•法布尔曾经注意到,蜘蛛结出的网上也有对数螺线出没,对此他兴趣大发,在《蜘蛛的一生》中增加了专门的一篇,讨论对数螺线的数学性质和它对自然界的影响。甚至“对数螺线”这个名字就是法布尔叫响的。另外人们发现,飞蛾扑火与老鹰盘旋也都是沿着对数螺线的轨迹移动。

但是和接下来的银河系相比,以上的例子都“弱爆了”。天文学家观测发现,涡旋状星云的旋臂形状与等角螺线十分相似,银河系的四大旋臂就是倾斜度为
12° 的等角螺线。

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不但如此,凭我们的观察,这些相等的锐角和钝角,又和别的扇形中的锐角和钝角分别相等,所以,总的看来,这螺旋形的线圈包括一组组的横档以及一组组和辐交成相等的角。

   
这些小蛛都离开了它们白天的居所,各自选定地盘,开始纺线。有的在这边,有的在那边,谁也不打扰谁。我们可以任意地拣一只小蛛来观察。

其他的螺线

除此之外,数学家们还找出了各种奇形怪状的非主流螺线,例如极坐标方程 r
2 = θ
描述的连锁螺线,它不是常见的一支,而是对称的两支。更为怪异的是欧拉螺线,它有两个中心,埃舍尔的一副作品就是以此为主题的。

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欧拉曲线

数学界是如此地热爱螺线,以至于衡量一个数学家是否足够牛逼的简单的方法就是看看是否存在以他命名的螺线。那死理性派又为什么对螺线情有独钟呢?这就正像法布尔总结的那样:“几何,以及面积的和谐支配着一切。”螺线背后精准优雅的规律,无疑让一代又一代的人为之痴迷。

 


参考资料

【1】马丁•加德纳,《意料之外的绞刑和其他数学娱乐》

【2】
用数学注释的花园

【3】赵文敏,
等角螺线及其他

【4】职业农夫,
生物中的数学—是生物因为数学而有趣?还是数学因为生物而有趣?

【5】维基百科, 螺线
等相关词条

   
这种特性使我们想到数学家们所称的“对数螺线”。这种曲线在科学领域是很著名的。对数螺线是一根无止尽的螺线,它永远向着极绕,越绕越靠近极,但又永远不能到达极。即使用最精密的仪器,我们也看不到一根完全的对数螺线。这种图形只存在科学家的假想中,可令人惊讶的是小小的蜘蛛也知道这线,它就是依照这种曲线的法则来绕它网上的螺线的,而且做得很精确。

   
让我们就在这只小蛛面前停下吧。它正在打基础呢。它在迷迭香的花上爬来爬去,从一根枝端爬到另一根枝端忙忙碌碌的,它所攀到的枝大约都是十八寸距离之内的。太远的它就无能为力了。渐渐地它开始用自己梳子似的后腿把丝从身体上拉出来,放在某个地方作为基底,然后漫无规则地一会儿爬上,一会儿爬下,这样奔忙了一阵子后,结果就构成了一个丝架子。这种不规则的结构正是它所需要的。这是一个垂直的扁平的

   
这螺旋线还有一个特点。如果你用一根有弹性的线绕成一个对数螺线的图形,再把这根线放开来,然后拉紧放开的那部分,那么线的运动的一端就会划成一个和原来的对数螺线完全相似的螺线,只是变换了一下位置。这个定理是一位名叫杰克斯·勃诺利的数学教授发现的,他死后,后人把这条定理刻在他的墓碑上,算是他一生中最为光荣的事迹之一。

    “地基”。正是因为它是错综交叉的,因此这个“地基”很牢固。

   
那么,难道有着这些特性的对数螺线只是几何学家的一个梦想吗?这真的仅仅是一个梦、一个谜吗?那么它究竟有什么用呢?

   
后来它在架子的表面横过一根特殊的丝,别小看这根细丝,那是一个坚固的网的基础。这根线的中央有一个白点,那是一个丝垫子。

   
它确实广泛的巧合,总之它是普遍存在的,有许多动物的建筑都采取这一结构。有一种蜗牛的壳就是依照对数螺线构造的。世界上第一只蜗牛知道了对数螺线,然后用它来造壳,一直到现在,壳的样子还没变过。

   
现在是它做捕虫网的时候了。它先从中心的白点沿着横线爬,很快就爬到架子的边缘,然后以同样快的速度回到中心,再从中心出发以同样的方式爬到架子边缘,就这样一会儿上,一会儿下,一会儿左,一会儿右。每爬一次便拉成一个半径,或者说,做成一根辐。不一会儿,便这儿那儿地做成了许多辐,不过次序很乱。

   
在壳类的化石中,这种螺线的例子还有很多。现在,在南海,我们还可以找到一种太古时代的生物的后代,那就是鹦鹉螺。它们还是很坚贞地守着祖传的老法则,它们的壳和世界初始时它们的老祖宗的壳完全一样。也就是说,它们的壳仍然是依照对数螺线设计的。并没有因时间的流逝而改变,就是在我们的死水池里,也有一种螺,它也有一个螺线壳,普通的蜗牛壳也是属于这一构造。

   
无论谁,如果看到它已完成的网是那么地整洁而有规则,一定会以为它做辐的时候也是按着次序一根根地织过去,然而恰恰相反,它从不按照次序做,但是它知道怎样使成果更完美。在同一个方向安置了几根辐后,它就很快地往另一个方向再补上几条,从不偏爱某个方向,它这样突然地变换方向是有道理的:如果它先把某一边的辐都安置好,那么这些辐的重量,会使网的中心向这边偏移从而使网扭曲,变成很不规则的形状。所以它在一边安放了几根辐后,立刻又要到另一边去,为的是时刻保持网的平衡。

   
可是这些动物是从哪里学到这种高深的数学知识的呢?又是怎样把这些知识应用于实际的呢?有这样一种说法,说蜗牛是从蠕虫进化来的。某一天,蠕虫被太阳晒得舒服极了,无意识地揪住自己的尾巴玩弄起来,便把它绞成螺旋形取乐。突然它发现这样很舒服,于是常常这么做。久而久之便成了螺旋形的了,做螺旋形的壳的计划,就是从这时候产生的。

   
你们一定不会相信,像这样毫无次序又是时时间断的工作会造出一个整齐的网。可是事实确实如此,造好的辐与辐之间的距离都相等,而且形成一个很完整的圆。不同的蜘蛛网的辐的数目也不同,角蛛的网有二十一根辐,条纹蜘蛛有三十二根,而丝光蛛有四十二根。这种数目并不是绝对不变的,但是基本上是不变的,因此你可以根据蛛网上的辐条数目来判定这是哪种蜘蛛的网。

   
但是蜘蛛呢?它从哪里得到这个概念呢?因为它和蠕虫没有什么关系。然而它却很熟悉对数螺线,而且能够简单地运用到它的网中。蜗牛的壳要造好几年,所以它能做得很精致,但蛛网差不多只用一个小时就造成了,所以它只能做出这种曲线的一个轮廊,尽管不精确,但这确实是算得上一个螺旋曲线。是什么东西在指引着它呢?除了天生的技巧外,什么都没有。天生的技巧能使动物控制自己的工作,正像植物的花瓣和小蕊的排列法,它们天生就是这样的。没有人教它们怎么做,而事实上,它们也只能作这么一种,蜘蛛自己不知不觉地在练习高等几何学,靠着它生来就有的本领很自然地工作着。

   
想想看,我们中间谁能做到这一点:不用仪器,不经过练习,而能随手把一个圆等分?但是蜘蛛可以,尽管它身上背着一个很重的袋子,脚踩在软软的丝垫上,那些垫还随风飘荡,摇曳不定,它居然能够不加思索地将一个圆极为精细地等分。它的工作看上去杂乱无序,完全不合乎几何学的原理,但它能从不规则的工作中得出有规则的成果来。我们都对这个事实感到惊异。它怎么能用那么特别的方法完成这么困难的工作呢?这一点我至今还在怀疑。

   
我们抛出一个石子,让它落到地上,这石子在空间的路线是一种特殊的曲线。树上的枯叶被风吹下来落到地上,所经过的路程也是这种形状的曲线。科学家称这种曲线为抛物线。

   
安排辐的工作完毕后,蜘蛛就回到中央的丝垫上。然后从这一点出发,踏着辐绕螺旋形的圈子。它现在正在做一种极精致的工作。它用极细的线在辐上排下密密的线圈。这是网的中心,让我们把它叫作“休息室”吧。越往外它就用越粗的线绕。圈与圈之间的距离也比以前大。绕了一会,它离中心已经很远了,每经过一次辐,它就把丝绕在辐上粘住。最后,它在“地基”的下边结束了它的工作。圈与圈之间的平均距离大约有三分之一寸左右。

   
几何学家对这曲线作了进一步的研究,他们假想这曲线在一根无限长的直线上滚动,那么它的焦点将要划出怎样一道轨迹呢?答案是:垂曲线。这要用一个很复杂的代数式来表示。如果要用数字来表示的话,这个数字的值约等于这样一串数字1+1/1+1/1*2+1/1*必发88手机版,2*3+1/1*2*3*4+……的和。

   
这些螺旋形的线圈并不是曲线。在蜘蛛的工作中没有曲线,只有直线和折线。这线圈其实是辐与辐之间的横档所连成的。

   
几何学家不喜欢用这么一长串数字来表示,所以就用“e”来代表这个数。e是一个无限不循环小数,数学中常常用到它。

   
以前所做的只能算作是一个支架,现在它将要在这上面做更为精致的工作。这一次它从边缘向中心绕。而且圈与圈之间排得很紧,所以圈数也很多。

   
这种线是不是一种理论上的假想呢?并不,你到处可以看到垂曲线的图形:当一根弹性线的两端固定,而中间松驰的时候,它就形成了一条垂曲线;当船的帆被风吹着的时候,就会弯曲成垂曲线的图形;这些寻常的图形中都包含着“e”的秘密。一根无足轻重的线,竟包含着这么多深奥的科学!我们暂且别惊讶。一根一端固定的线的摇摆,一滴露水从草叶上落下来,一阵微风在水面拂起了微波,这些看上去稀松平常、极为平凡的事,如果从数学的角度去研究的话,就变得非常复杂了。

   
这种工作的详细情形很不容易看清,因为它的动作极为快捷而且振动得很厉害,包括一连串的跳跃、摇摆和弯曲,使人看得眼花缭乱。如果分解它们的动作,可以看到它的其中两条腿不停地动着,一条腿把丝拖出来传给另外一条腿,另一条腿就把这丝安在辐上。由于丝本身有粘性,所以很容易在横档和丝接触的地方把新技出来的丝粘上去。

   
我们人类的数学测量方法是聪明的。但我们对发明这些方法的人,不必过分地佩服。因为和那些小动物的工作比起来,这些繁重的公式和理论显得又慢又复杂。难道将来我们想不出一个更简单的形式,并使它运用到实际生活中吗?难道人类的智慧还不足以让我们不依赖这种复杂的公式吗?我相信,越是高深的道理,其表现形式越应该简单而朴实。

   
蜘蛛不停地绕着圈,一面绕一面把丝粘在辐上。它到达了那个被我们称作“休息室”的边缘了。于是它立刻结束了它的绕线运动。以后它就会把中央的丝垫子吃掉。它这么做是为了节约材料,它下一次织网的时候就可以把吃下的丝再纺出来用了。

   
在这里,我们这个魔术般的“e”字又在蜘蛛网上被发现了。在一个有雾的早晨,这粘性的线上排了许多小小的露珠。它的重量把蛛网的丝压得弯下来,于是构成了许多垂曲线,像许多透明的宝石串成的链子。太阳一出来,这一串珠子就发出彩虹一般美丽的光彩。好像一串金钢钻。“e”这个数目,就包蕴在这光明灿烂的链子里。望着这美丽的链子,你会发现科学之美、自然之美和探究之美。

   
有两种蜘蛛,也就是条纹蛛和丝光蛛,做好了网后,还会在网的下部边缘的中心织一条很阔的锯齿形的丝带作为标记。有时候,它们还在这一条丝带的封面,就是网的上部边缘到中心之间再织一条较短的丝带,以表明这是它们的作品,著作权不容侵犯。粘性的网

   
几何学,这研究空间的和谐的科学几乎统治着自然界的一切。在铁杉果的鳞片的排列中以及蛛网的线条排列中,我们能找到它;在蜗牛的螺线中,我们能找到它;在行星的轨道上,我们也能找到它,它无处不在,无时不在,在原子的世界里,在广大的宇宙中,它的足迹遍布天下。

   
蛛网中用来作螺旋圈的丝是一种极为精致的东西,它和那种用来做辐和“地基”的丝不同。它在阳光中闪闪发光,看上去像一条编成的丝带。我取了一些丝回家,放在显微镜下看,竞发现了惊人的奇迹:

   
这种自然的几何学告诉我们,宇宙间有一位万能的几何学家,他已经用它神奇的工具测量过宇宙间所有的东西。所以万事万物都有一定的规律。我觉得用这个假设来解释鹦鹉螺和蛛网的对数螺线,似乎比蠕虫绞尾巴而造成螺线的说法更恰当。

   
那根细线本来就细得几乎连肉眼都看不出来,但它居然还是由几根更细的线缠合而成的,好像大将军剑柄上的链条一般。更使人惊异的是,这种线还是空心的,空的地方藏着极为浓厚的粘液,就和粘稠的胶液一样,我甚至可以看到它从线的一端滴出来。这种粘液能从线壁渗出来,使线的表面有粘性。我用一个小试验去测试它到底有多大粘性:我用一片小草去碰它,立刻就被粘住了。现在我们可以知道,园蛛捕捉猎物靠的并不是围追堵截。而是完全靠它粘性的网,它几乎能粘住所有的猎物。可是又有一个问题出来了:蜘蛛自己为什么不会被粘住呢?

   

   
我想其中一个原因是,它的大部分时间被用来坐在网中央的休息室里,而那里的丝完全没有粘性。不过这个说法不能自圆其说,它无法一辈子坐在网中央不动,有时候,猎物在网的边缘被粘住了。它必须很快地赶过去放出丝来缠住它,在经过自己那充满粘性的网时,它怎么防止自己不被粘住呢?是不是它脚上有什么东西使它能在粘性的网上轻易地滑过呢?它是不是涂了什么油在脚上?因为大家都知道,要使表面物体不粘,涂油是最佳的办法。

   

   
为了证明我的怀疑,我从一只活的蜘蛛身上切下一条腿,在二硫化碳里浸了一个小时,再用一个也在二硫化碳里浸过的刷子把这条腿小心地洗一下。二硫化碳是能溶解脂肪的,所以如果腿上有油的话,这一洗就会完全洗掉了。现在我再把这条腿放到蛛网上,它被牢牢地粘住了!由此我们知道,蜘蛛在自己身上,涂上了一层特别的“油”,这样它能在网上自由地走动而不被粘住。但它又不愿老停在粘性的螺旋圈上,因为这种“油”是有限的,会越用越少。所以它大部分时间呆在自己的“休息室”里。

   
从实验中我们得知这蛛网中的螺旋线是很容易吸收水分的。因为这个,当空气突然变得潮湿的时候,它们就停止织网工作,只把架子、辐和“休息室”做好,因为这些都不受水分的影响。至于那螺旋线的部分,它们是不会轻易做上去的,因为如果它吸收过多的水分,以后就不能充分地吸水解潮了。有了这螺旋线,在极热的天气里,蛛网也不会变得干燥易断,因为它能尽量地吸收空气中的水分以保持它的弹性并增加它的粘性。哪一个捕鸟者在做网的时候,在艺术上和技术上能比得上蜘蛛呢?而蜘蛛织这么精致的网只是为了捕一只小虫!真是有点大材小用了!

   
同时蜘蛛还是一个热忱积极的劳动者。我曾计算过,角蛛每做一个网需制造大约二十码长的丝,至于那更精巧的丝,光蛛就得造出三十码,在这两个月中,我的角蛛邻居几乎每夜都要修补它的网。这样,在这个时期中,它就得从它娇小瘦弱的身体上绵绵不断抽出这种管状的,富有弹性的丝。

   
我们不禁要怀疑,它小小的身体怎么能产出那么多丝?它怎么能把这些丝搓成管状,又怎么能在里面灌上粘液呢?它又怎能有时制出普通的丝,有时造出云朵状的丝花来垫巢,最后还能制出黑色的丝带来装饰巢呢?这些问题一直在我的脑子里盘绕,并使我百思而不得其解。

   

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